五种最大公约数Python求解总结

来源: https://www.ucloud.cn/yun/127981.html 作者: 89542767 发布日期: 发布于2022-10-10 16:14

小编写这篇文章的主要目的，主要是给大家讲解一下，关于最大公约数的求解方法，下面小编集中给大家总结一下，具体操作的五种方法。

方法一：短除法

　　短除法是求最大公因数的一种方法，也可用来求最小公倍数。求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。后来，使用分解质因数法来分别分解两个数的因数，再进行运算。之后又演变为短除法。短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到两个数的商是互质数为止。

　　简单来说就是逐步找出两个数的所有公约数，再将这些公约数累乘起来，就能得到最大公约数啦！

　　a=int(input("please input the first number："))
　　b=int(input("please input the second number："))
　　m,n=a,b#创建两个变量存储a和b
　　t=1#创建t作为最大公约数的载体
　　for i in range(2,min(a,b)):
　　while(a%i==0 and b%i==0):
　　t*=i#所有公约数累乘起来
　　a/=i
　　b/=i
　　print((f"{m},{n}的最大公约数为：{t}"))

　　这种方法虽然有点麻烦，但是逻辑却很清楚，不容易出错。

方法二：欧几里得算法（辗转相除法）

　　欧几里得算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。古希腊数学家欧几里得在其著作《The Elements》中最早描述了这种算法,所以被命名为欧几里得算法。

　　假如需要求1997和615两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法，是这样进行的：

　　1997/615=3······152

　　615/152=4······7

　　152/7=21······5

　　7/5=1······2

　　5/2=2······1

　　2/1=2······0

　　至此，最大公约数为1

　　以除数和余数反复做除法运算，当余数为0时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了1997和615的最大公约数1。

　　明白了这其中的逻辑，我们就可以着手开始写程序啦！

　　a=int(input("please input the first number："))
　　b=int(input("please input the second number："))
　　#首先要给两数排序，保证大数除以小数
　　m=max(a,b)
　　n=min(a,b)
　　t=m%n
　　while t!=0:
　　m,n=n,t#仔细观察不难发现：每个除式的m、n是都是上一个式子的n和余数
　　t=m%n#更新余数
　　print(f"{a}和{b}的最大公约数为{n}")

　　当然了，递归方法也能实现欧几里得算法。

　  def GCD(a,b):
　　#比较大小，保证大数除以小数
　　if a<b:
　　a,b=b,a
　　#判断是否能整除，若能整除，直接返回被除数
　　if a%b==0:
　　return b
　　#若不能整除，则返回函数GCD，参数做相应变化
　　else:
　　return GCD(b,a%b)
　　a=int(input("please input the first number："))
　　b=int(input("please input the second number："))
　　gcd=GCD(a,b)
　　print(f"{a}和{b}的最大公约数为{gcd}")

　　方法三：更相减损术

　　更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。原文是：

　　可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

　　白话文译文：

　　（如果需要对分数进行约分，那么）可以折半的话，就折半（也就是用2来约分）。如果不可以折半的话，那么就比较分母和分子的大小，用大数减去小数，互相减来减去，一直到减数与差相等为止，用这个相等的数字来约分。

　　具体步骤：

　　第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

　　第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

　　则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

　　其中所说的“等数”，就是公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。

　　现在使用更相减损术求98与63的最大公约数。

　　解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：

　　98-63=35

　　63-35=28

　　35-28=7

　　28-7=21

　　21-7=14

　　14-7=7

　　所以，98和63的最大公约数等于7。

　　a=int(input("please input the first number："))
　　b=int(input("please input the second number："))
　　#首先要给两数排序，保证大数减小数
　　m=max(a,b)
　　n=min(a,b)
　　#判断两数是否都是偶数，如果都是偶数就同时除2
　　while m%2==0 and n%2==0:
　　m,n=m/2,n/2
　　t=m-n
　　#判断条件是减数和差相等
　　while n!=t:
　　m,n=max(n,t),min(n,t)#每减一轮之后，都要重新判断减数和差的大小，再次以大数减去小数
　　t=m-n
　　print(f"{a}和{b}的最大公约数为{n}")

　　方法四：穷举法（枚举法）

　　从两个数中较小数开始，由小到大列举，找出公约数并保证该公约数也属于较大数，这些公约数的最大者就是最大公约数；也可以从大到小列举，直到找出公约数后跳出循环，该公约数即是最大公约数。

　　a=int(input("please input the first number："))
　　b=int(input("please input the second number："))
　　p,q=min(a,b),max(a,b)
　　lst=[]
　　for i in range(1,p+1):
　　if p%i==0 and q%i==0:
　　lst.append(i)
　　gcd=max(lst)
　　print(f"{a}和{b}的最大公约数为{gcd}")
　　#a=int(input("please input the first number："))
　　#b=int(input("please input the second number："))
　　#p,q=min(a,b),max(a,b)
　　#gcd=0
　　#for i in range(p,0,-1):
　　#if p%i==0 and q%i==0:
　　#gcd=i
　　#break
　　#print(f"{a}和{b}的最大公约数为{gcd}")

　　方法五：Stein算法

　　Stein算法是一种计算两个数最大公约数的算法，是针对欧几里德算法在对大整数进行运算时，需要试商导致增加运算时间的缺陷而提出的改进算法。

　　欧几里得算法缺陷：

　　欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论从理论还是从实际效率上都是很好的。但是却有一个致命的缺陷，这个缺陷在素数比较小的时候一般是感觉不到的，只有在大素数时才会显现出来。

　　一般实际应用中的整数很少会超过64位(当然已经允许128位了)，对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

　　看下面两个结论：

　　gcd(a,a)=a，也就是一个数和其自身的公约数仍是其自身。

　　gcd(ka,kb)=k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换。特殊地，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。

　　当k与b互为质数，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地，当k=2时，说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时，可以先将偶数除以2。

　　:param a:第一个数

　　:param b:第二个数

　　:return:最大公约数

　　def gcd_Stein(a,b):
　　#保证b比a小
　　if a<b:
　　a,b=b,a
　　if(0==b):
　　return a
　　#a、b都是偶数，除2右移一位即可
　　if a%2==0 and b%2==0:
　　return 2*gcd_Stein(a/2,b/2)
　　#a是偶数
　　if a%2==0:
　　return gcd_Stein(a/2,b)
　　#b是偶数
　　if b%2==0:
　　return gcd_Stein(a,b/2)
　　#都是奇数
　　return gcd_Stein((a+b)/2,(a-b)/2)
　　a=int(input("please input the first number："))
　　b=int(input("please input the second number："))
　　gcd=int(gcd_Stein(a,b))
　　print(f"{a}和{b}的最大公约数为{gcd}")

　　以上就是小编给大家总结的关于python实现最大公约数的五种具体方法，希望可以给大家带来帮助。